Um effiziente Approximationen zu erhalten, ist es für die numerische Simulation vieler partieller Differentialgleichungen erforderlich, die verwendete Diskretisierung an die Lösung anzupassen. Information zur unbekannten Lösung erhält man aber nur mittels für konkrete Diskretisierungen berechneter Näherungen. Man geht daher schrittweise vor und verfeinert eine grobe Ausgangsdiskretisierung nach und nach, bis ein Kriterium an den Fehler erfüllt ist. Bei solchen adaptiven Methoden ergeben sich zwei wesentliche Fragen:
- Ist sichergestellt, dass dieser Prozess gegen die exakte Lösung konvergiert?
- Kann man auch garantieren, dass die Anzahl der arithmetischen Operationen zur Berechnung der Näherungslösung die bestmögliche Skalierung in der Anzahl der Unbekannten aufweist, das adaptive Verfahren also nicht teurer ist als nötig?
Vor allem bei 2. hängt eine positive Antwort sehr stark von der richtigen Konstruktion des Verfahrens ab. In dieser Vorlesung werden vor allem die grundlegenden mathematischen Konzepte behandelt, die entwickelt wurden um die Komplexität solcher Algorithmen zu verstehen, die sich an nicht explizit bekannte Lösungen anpassen.
| Typ | Vorlesung |
| Dozent | Prof. Dr. Markus Bachmayr |
| Termin | Do 14-16 Uhr in Raum 05-426 |
| Sprache | Deutsch |
| Kreditpunkte | 3 Cr |
Materialien
Zielgruppe
Die Vorlesung verwendet Grundkenntnisse zu elliptischen Randwertproblemen. Die mathematischen Konzepte werden auf Basis einfacher Diskretisierungen entwickelt, die in der Vorlesung eingeführt werden. Insbesondere kann die Veranstaltung auch parallel zu Numerik partieller Differentialgleichungen ergänzend belegt werden.
Literatur
- R. H. Nochetto, K. G. Siebert, und A. Veeser. Theory of adaptive finite element methods: an introduction. In Multiscale, nonlinear and adaptive approximation, Springer (2009).
- J. M. Cascon, C. Kreuzer, R. H. Nochetto, und K. G. Siebert. Quasi-optimal convergence rate for an adaptive finite element method, SIAM J. Numer. Anal., 46 (2008).
- T. Gantumur, H. Harbrecht, und R. Stevenson. An optimal adaptive wavelet method without coarsening of the iterands. Math. Comp., 76 (2007).