Über das Gebiet werden Diplom-/Masterarbeiten vergeben.

Interessenten melden sich bitte via Jogustine (Kurs 08.105.525 ) für die Veranstaltung an.

Interessierte (Bachelor-) Studenten, die sich für diese  Veranstaltung nicht über Jogustine anmelden können, wenden Sie sich wegen der Anmeldung an Frau Jung.

Termine:

Mittwoch 10-12 Uhr, Raum 05-426
Donnerstag 10-12 Uhr, Raum 05-426

Umfang:

4 SWS (6 Credits)

Inhalt:

Erhaltungsgleichungen treten in vielen physikalischen, biologischen oder sozioökonomischen Anwendungen auf. Das Ziel der Vorlesung ist, wichtige mathematische Techniken für Erhaltungsgleichungen kennenzulernen. Dabei geht es um die Techniken der mathematischen Modellierung, analytische Ansätze und die Techniken der numerischen Simulation. Wir fangen mit der kontinuumsmechanischen Modellierung an und erweitern sie mit der kinetischen Theorie und Partikel-basierten Modellierungsansätzen. Weiterhin werden wir die wichtigsten theoretischen Resultate für Existenz und Eindeutigkeit der schwachen Lösung von hyperbolischen Erhaltungsgleichungen kennenlernen. Anschließend beschäftigen wir uns mit den modernen Verfahren, die für hyperbolische Erhaltungsgleichungen geeignet sind: Finite Volumen Verfahren, Diskontinuierliche-Galerkin Verfahren, Finite Volumen-Partikel Verfahren und SPH (Smooth-Partikel-Hydrodynamics) Methode. Schließlich diskutieren wir verschiedene Anwendungen in der Physik, Biologie oder Sozioökonomie.

 

I.  Makroskopische Modelle für hyperbolische Erhaltungsgleichungen: Begriff der schwachen Lösung, Entropie-Ungleichung Resultate über die Existenz und (Nicht-) Eindeutigkeit der schwachen entropischen Lösung in 1D und Multi-D für eine skalare Gleichung und für Systeme von Erhaltungsgsleichungen, siehe dazu Literatur [1-3,5]

II. Multiskalen-Verfahren, die auf der Boltzmann-Theorie (kinetische Theorie) basieren; Kinetische-Relaxationsverfahren, siehe dazu auch

K.R. Arun, M. Lukacova-Medvidova, Phoolan Prasad and S.V. Raghurama Rao: A second order accurate kinetic relaxation scheme for inviscid compressible flows

K. R. Arun, Maria Lukacova-Medvidova: A Characteristics based genuinely multidimensional discrete kinetic scheme for the Euler equations

III. Multiskalen Verfahren, die auf den atomistischen-kontinuummechanischen Modellen basieren; heterogeneous multiscale method HMM (Molekulardynamik + CFD), siehe dazu auch [4] und

Weinan E., X. Li: Analysis of the heterogeneous multiscale method for gas dynamics

Weinan E et al. : Heterogeneous multiscale method:  a review

IV. Diskontinuierliches Galerkin (DG) Verfahren (Approximation von makroskopischen Modellen), siehe dazu auch das Buch

Feistauer et al.:  Mathematical and Computational Methods for Compressible Flow, Oxford University Press, 2003

Themen für das Abschlusskolloquium:

1. Was ist ein System von Erhaltungsgleichungen?  Beispiele.

2. Warum wird eine schwache Lösung benötigt, warum Entropie-Ungleichung ?

3. Kinetische Beschreibung in der Gasdynamik, Boltzmann-Gleichung -Hauptidee

4. Ein Beispiel des kinetischen Relaxationsverfahrens (1d, erste Ordnung) -Hauptidee

5. Grundidee von heterogenen Multiskalenverfahren

6. Grundidee von Diskontinuierlichen Galerkin Verfahren

7. Anwendung des DG - Verfahrens an eine Konvektion-Diffusion-Gleichung

 

Vorkenntnisse:

• Grundlagen der Numerik
• Kenntnisse aus den Vorlesungen "Numerik partieller Differentialgleichungen" sind nicht zwingend erforderlich, aber hilfreich.

Literatur:

• [1] R.J. LeVeque: Numerical Methods for Conservation Laws, Lectures in Mathematics, Birkhauser-Verlag, Basel, 1990
• [2] R.J. LeVeque: Finite Volume Methods for Hyperbolic Problems, Cambridge University Press, 2002
• [3] M. Feistauer, J. Felcman, I. Straskraba: Mathematical and Computational Methods for Compressible Flow, Oxford University Press, 2003
• [4] S. Succi: The Lattice Boltzmann Equation for Fluid Dynamics and Beyond, Oxford University Press, 2001
• [5] M. Lukacova: Computational Fluid Dynamics, Skript 2002