Vorlesung: Mittwoch 10-12 Uhr, Raum 05-426 (3 LP)

Wird bei einer als (konvergente) Potenzreihe gegebenen Funktion f anstelle eines eines skalaren reellen Arguments x oder eines komplexen Arguments z eine quadratische Matrix A eingesetzt, so spricht man von einer Matrixfunktion. Elementare Beispiele sind die die natürlichen Potenzen von A oder auch rationale Funktionen, wie z.B.

sofern die Spektralnorm von A kleiner als Eins ist. Ein weiteres Beispiel ist die Exponentialfunktion

die etwa bei Systemen linearer Differentialgleichungen von Bedeutung ist.

Die Vorlesung stellt verschiedene äquivalente Definitionen für die Matrixfunktion f(A) vor, führt in das zugehörige Spektralkalkül ein, entwickelt numerische Algorithmen für die Berechnung konkreter
Beispielfunktionen, wie die Exponentialfunktion, die Quadratwurzel und die Signumfunktion, sowie effiziente Algorithmen für allgemeinere Funktionen.

Drei konkrete Anwendungsbeispiele runden die Vorlesung ab.

 

 

Der Satz von Toeplitz-Hausdorff besagt, dass der sogenannte Wertebereich

einer komplexen Matrix A eine konvexe Obermenge des Spektrums ist. Die eingeschlossene eingefärbte Menge in der obigen Abbildung ist der Wertebereich einer konkreten reellen 10x10-Matrix A; die Kreuze zeigen die Eigenwerte von A an. Abhängig von der Ausdehnung des Wertebereichs lassen sich für gewisse Approximationen an Matrixfunktionen Konvergenzaussagen machen.

Bei Bedarf findet die Vorlesung in Englisch statt.