Termine
- Vorlesung: Mo 14-16 Uhr, Raum 05-136 (Institut für Mathematik)
- Übung: Do 14-16 Uhr, Raum 04-522
| Dozent: | Prof. Dr. Martin Hanke-Bourgeois (Institut für Mathematik) |
| Assistent: | N.N. |
Inhalt:
Computertomographie ist aus dem heutigen medizinischen Alltag nicht mehr wegzudenken. Dieser Fortschritt beruht zu einem ganz wesentlichen Anteil auf erfolgreicher mathematischer Grundlagenforschung. Die bekannte Röntgentomographie verwendet beispielsweise eine Inversionsformel des österreichischen Mathematikers Johann Radon aus dem Jahr 1917 für die nach ihm benannte Radon-Transformation.
Seit etwa 1980 wird alternativ an tomographischen Verfahren gearbeitet, die die örtlichen Unterschiede der elektrischen Leitfähigkeit im Körper aus Strom-/Spannungsmessungen an der Oberfläche bestimmen. Auf diese Weise hofft man beispielsweise in der Mammographie besser Tumoren erkennen zu können, da diese aufgrund der stärkeren Durchblutung eine signifikant höhere Leitfähigkeit als das restliche Gewebe in der Brust aufweisen.
Das zugrundeliegende physikalische Modell (die quasistatische Approximation) führt auf eine skalare elliptische Differentialgleichung für das elektrische Potential, die die vom Ort abhängige Leitfähigkeit als unbekannten Parameter/Funktion enthält. Diese Funktion muss durch eine Optimierung an die gegebenen Strom-/Spannungsmessungen gefittet werden. Das Problem stellt sich als schlecht gestellt heraus, so dass ein "Overfitting" unbedingt vermieden werden muss, um sinnvolle Rekonstruktionen zu erhalten; das Problem muss regularisiert werden.
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Versuchsaufbau für reale Daten (links), eine Rekonstruktion mit "Overfitting" (Mitte) und eine regularisierte Rekonstruktion (rechts)
In dem Praktikum werden die benötigten "Zutaten" für eine numerische Rekonstruktion der Leitfähigkeit implementiert und zu einem vollständigen Inversionsalgorithmus verknüpft. Neben einer numerischen
Finite-Elemente-Methode für die Lösung der elliptischen Differentialgleichung umfasst dies die sogenannte Adjungiertenmethode und, darauf aufbauend, iterative Optimierungs- bzw. Regularisierungsmethoden.
Für eine populärwissenschaftliche Ausarbeitung dieses Themas sei auf einen Artikel im Forschungsmagazin der Johannes-Gutenberg Universität aus dem Jahr 2000 verwiesen.
Das Modellierungspraktikum ist der zweite Teil des Moduls Wissenschaftliches Rechnen (NUM-004), welches wiederum ein Wahlpflichtmodul der mathematischen Masterstudiengänge und ein Pflichtmodul des interdisziplinären Masterstudiengangs Computational Sciences - Rechnergestützte Naturwissenschaften ist. Vorausgesetzt werden grundlegende Kenntnisse der Numerik gewöhnlicher und partieller Differentialgleichungen.
Im Praktikum werden konkrete Projektaufgaben in Kleingruppen (2-3 Personen) selbständig bearbeitet. Dabei besteht die Aufgabe darin, das reale Problem mathematisch zu beschreiben (zu modellieren), mit mathematischen Methoden computerunterstützt zu lösen und dann die Ergebnisse im Rahmen der Problemstellung zu interpretieren.
Wegen der aktuellen Corona-Pandemie findet das Modellierungspraktikum diesmal in digitaler Form statt. Die für die Lehrveranstaltung eingeschriebenen Studierenden finden entsprechende Details auf der Moodle-Platform der Universität unter diesem Link.
Auf der Grundlage des Praktikums können Themen für Masterarbeiten vergeben werden.
Leistungsnachweis:
Der erfolgreiche Besuch des Praktikums setzt die aktive Mitarbeit in der Kleingruppe voraus und wird auf Grundlage der Projektpräsentation am Ende des Semesters benotet. Diese findet statt am
Freitag, 10.07.2020, 9-11 Uhr (Projekte 1&2)
Montag, 13.07.2020, 14-16 Uhr (Projekt 3)
Die Präsentationen finden virtuell in MS-Teams statt. Der entsprechende Link kann per email angefordert werden.