Numerische Modellierung dynamischer Zufallsprozesse
Termine:
- Vorlesung: Mi 10 - 12 Uhr, Raum 05-426
- Übung: Di, 16-18 Uhr, MI2 - die erste Übung findet am 24.04.18 statt
- Mündliche Präsentationen: 13.6., 4.7.
Abschlusspräsentation: 4.7.
(jeweils 30 Minuten Vortrag + 10 Minuten Fragen)
Dozentin: Prof. Dr. Maria Lukacova,
Assistentin: B. Wiebe
Inhalt:
Das Ziel des Modellierungspraktikums ist, dynamische Zufallsprozesse mathematisch zu formulieren, analysieren und numerisch zu simulieren. Wir diskutieren unterschiedliche Ansätze, um die Unsicherheiten eines dynamischen Prozesses zu modellieren. Insbesondere beschäftigen wir uns mit stochastischen gewöhnlichen Differentialgleichungen, die beispielweise in statistischer Physik bei der Beschreibung der Teilchendynamik auftreten, mit partiellen Differentialgleichungen mit zufälligen Koeffizienten, die für Modellierungen von unsicheren Messdaten und Parametern geeignet sind, oder mit partiellen Differentialgleichungen mit zeit-räumlichen stochastischen Rauschtermen.
Im Rahmen der Projekte, die in kleinen Gruppen bearbeitet werden, möchten wir praxisrelevante Fragestellungen aus mathematischer Biologie, Fluiddynamik und Material-wissenschaften untersuchen und konkrete Lösungen erarbeiten.
Organisatorisches:
Das Modellierungspraktikum ist der zweite Teil des Moduls Wissenschaftliches Rechnen (NUM-004), welches wiederum ein Wahlpflichtmodul der mathematischen Masterstudiengänge und ein Pflichtmodul des interdisziplinären Masterstudiengangs Computational Sciences - Rechnergestützte Naturwissenschaften ist. Vorausgesetzt werden grundlegende Kenntnisse der Numerik gewöhnlicher und partieller Differentialgleichungen. Kenntnisse aus den Bereichen Physik, Biologie oder Chemie sind nicht unbedingt erforderlich.
Im Praktikum werden konkrete Projektaufgaben in Kleingruppen (3-4 Personen) selbständig bearbeitet. Dabei ist es die Aufgabe, das reale Problem mathematisch zu beschreiben (zu modellieren), mit mathematischen Methoden computerunterstützt zu lösen und dann die Ergebnisse im Rahmen der Problemstellung zu interpretieren. Die Kleingruppen werden in regelmäßigen Abständen ihren Forschungsstand in mündlichen Präsentationen vorstellen, am Ende des Semesters erfolgt dann die Endpräsentation der Ergebnisse sowie die Anfertigung eines Projektberichts.
Literatur:
[1] G.J. Lord, C.E. Powell and T. Shardlow: An Introduction to Computational Stochastic PDEs, Cambridge University Press, 2014. [2] D.J. Higham: An Algorithmic Introduction to Numerical Simulation of Stochastic Diffe-rential Equations, SIAM Review 43(3), 2001.epubs.siam.org/doi/pdf/10.1137/S0036144500378302
“A practical and accessible introduction to numerical methods for stochastic differential equations is given. The reader is assumed to be familiar with Euler's method for deterministic differential equations and to have at least an intuitive feel for the concept of a random variable; however, no knowledge of advanced probability theory or stochastic processes is assumed...” [3] D.J. Higham: Stochastic ordinary differential equations in applied and computational mathematics, IMA Journal of Applied Mathematics, 76(3), 2011. https://doi.org/10.1093/imamat/hxr016