Inhalte und Ziele: schwache Lösungen elliptischer Differentialgleichungen, Finite Elemente für elliptische Gleichungen, Fehlerabschätzungen, numerische Lösung parabolischer Differentialgleichungen, Linienmethode, Zeitintegration, numerische Lösung hyperbolischer Differentialgleichungen, Finite Volumen Methode erster und höherer Ordnung, approximative Riemann Löser, lineare und nichtlineare Stabilitätsanalyse.
| Typ | Vorlesung mit Übung | |||||
| Dozentin | Prof. Dr. Maria Lukacova | |||||
| Assistenz | Dennis Schumann | |||||
| Zeit | Di + Do, 10-12 Uhr | |||||
| Raum | 05-426 | |||||
| Übung | ||||||
| Sprache | Deutsch | |||||
| Kreditpunkte | 9 Cr |
Vorlesung (Inhalt)
- 1. Einführung (Modellprobleme: die Laplace-/Poisson-Gl., die Wellengl., die Wärmeleitungsgl., Typeinteilung für PDG)
- 2. Elliptische Diffgl. - Diskretisierung mit Finiten Differenzen Verfahren und Finiten Elementen Verfahren (Grundidee), schwache Formullierung
- 3. Sobolev Räume, Lax-Milgram-Satz, Ritz-Galerkin Verfahren, Cea's Lemma, Dirichlet-, Neumann-, Robin-Problem
- 4. Finite Elemente Räume, Periodic Table of the Finite Elements, siehe auch SIAM Artikel von Douglas und Logg
Rechentechnische Überlegungen, Fehlerabschätzung, Bramble-Hilbert-Lemma, Konvergenz in L2 - 5. Parabolische Gleichungen: schwache Lösung, Regularität, Linienmethode, Fehlerabschätzung, Zeitdiskretisierung mit standard ODE-Verfahren
- 6. Mehrgitter-Verfahren
- 7. Hyperbolische Erhaltungsgleichungen, schwache entropische Lösung, Existenz und Eindeutigkeit,
- 8. Finite Volumen Verfahren: Godunov Methode, Zentrale-Verfahren, von Neumann Stabilitätsanalysis, Entropie-Stabilität
A light introduction to hyperbolic problems
Übungen
Die Übung findet Dienstags von 16-18 Uhr im Raum 01-128 statt:
- Übungsblätter werden 14-tägig, jeweils Freitags um 10 Uhr in Moodle (https://moodle.uni-mainz.de/course/view.php?id=109477) hochgeladen, beginnend in der 2. Vorlesungswoche.
- Jedes Blatt enthält 4 Aufgaben (2 Theorieaufgaben, 2 Programmieraufgaben), pro Aufgabe sind 4 Punkte zu erreichen.
- Die Übungsblätter dürfen in Zweiergruppen bearbeitet werden.
- Abgaben erfolgen wöchentlich mit einer (für Theorieaufgaben) bzw. zwei (für Programmieraufgaben) Wochen Bearbeitungszeit (also Abgabe bis jeweils Freitag 10 Uhr), ebenfalls über Moodle.
Literatur
- Ciarlet: Finite Element Methods for Elliptic Problems, North Holland, 1978
- Quarteroni, Valli: Numerical Approximation of Partial Differential Equations, Springer 1994
- Braess: Finite Elemente, Springer 2003
- Hanke-Bourgeois: Grundlagen der Numerischen Mathematik und des Wissenschaftlichen Rechnens, Teubner 2002
- R.J. Le Veque: Finite Volume Methods for Hyperbolic Problems, Cambridge University Press, 2002
- M. Feistauer, J. Felcman, I. Straskrabe: Mathematical and Computational Methods for Compressible Flow, Oxford University Press, 2003
Zielgruppe
Es handelt sich bei dieser Vorlesung um den ersten Teil des Vertiefungsmoduls "Wissenschaftliches Rechnen" in den mathematischen Masterstudiengängen. Der zweite Teil des Moduls, das "Modellierungspraktikum" wird im kommenden Sommersemester angeboten werden.
Folgende Lehrveranstaltungen werden vorausgesetzt:
- Grundlagen der Numerik
- Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen
Kriterium für die Vergabe von Kreditpunkten
- Studierende, die Kreditpunkte für diese Veranstaltung bekommen wollen (unabhängig von der konkreten Form, s.u.), müssen sich während der Anmeldephase in Jogustine für die entsprechende Modulprüfung angemeldet haben.
- Benotete Kreditpunkte (nur für das Modul "Wissenschaftliches Rechnen") werden aufgrund eines mündlichen Kolloquiums (Termin wird noch bekannt gegeben) von 15-minütiger Dauer vergeben. Voraussetzung für die Zulassung zum Kolloquium ist die erfolgreiche Bearbeitung der Übungsblätter (d.h. mindestens 40% der maximal erreichbaren Punkte).
- Kreditpunkte für die Lehrveranstaltung mit Übungen (9cr) als Ergänzungsmodul werden bei erfolgreicher Bearbeitung der Übungsblätter (d.h. mindestens 40% der maximal erreichbaren Punkte) und der Teilnahme am Abschlusskolloquium vergeben.
- Kreditpunkte für die Lehrveranstaltung ohne Übungen (6cr) erhält, wer während des gesamten Semesters höchstens zweimal in der Vorlesung unentschuldigt gefehlt und am Abschlusskolloquium teilgenommen hat.